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(请给出正确答案)
[主观题]
设A为n阶矩阵,k为正整数,且Ak=0,证明A的特征值均为0.
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第2题
设R是集合A上的一个等价关系,|A1,A2,...,Ak|为A的子集族,且对任意x,y∈A满足
可否断定{A1,A2,...,Ak}为A的一个划分?若可以,请证明它确为A的划分;若不可以,请补适当条件,以使上述断言成立.
第4题
(a)证明有n个顶点的树,其顶点度数之和为2n-2.
(b)设d1,d2,···,dn是n个正整数,n≥2,且证明存在一棵顶点度数为d1,d2,···,dn的树。
第5题
设数域P上nxn矩阵F的特征多项式为f(x),并设证明:
2)对数域P上次数≥1的多项式G(x)有(G(x),f(x))=1当且仅当|G(F)|≠0。
第8题
设A是nxn对称正定矩阵,并设v(i),i=0,1,...,n-1为线性无关的一组向量。令p(k),k=0,1,...,n-1,如下生成:
证明:方向p(k),k=0,1,...,n-1,是A共轭的。上述过程称为共轭化,它从一组线性无关方向出发,产生一组A共轭方向。
第10题
设A是复数域C上一个n阶矩阵。
(i)证明:存在C上n阶可逆矩阵T,使得
(ii)对n作数学归纳法证明,复数域C上任意一个n阶矩阵都与一个上三角形矩阵
相似,这里主对角线以下的元素都是零。